3倍角の公式 - Whitebell::HatenaBlog

id:hyukiの数学ガール *1を読んでたり。倍角公式を導出する話があるのですが、私も同様に3倍角公式の導出をやってみました。

行列の積から

角θの回転は $\begin{pmatrix} \cos\theta && -\sin\theta \\ \sin\theta && \cos\theta \end{pmatrix}$ で表される。角θの回転を3度繰り返すのはこの行列を3乗するのに相当する。
$\begin{pmatrix} \cos\theta && -\sin\theta \\ \sin\theta && \cos\theta \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 4\cos^3\theta - 3\cos\theta && 4sin^3\theta - 3\sin\theta \\ 3\sin\theta - 4\sin^3\theta && 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \end{pmatrix}$
角θの回転を3回繰り返すことと角3θの回転を行うことは等しいので、
$\begin{pmatrix} 4\cos^3\theta - 3\cos\theta && 4sin^3\theta - 3\sin\theta \\ 3\sin\theta - 4\sin^3\theta && 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos3\theta && -\sin3\theta \\ \sin3\theta && \cos3\theta \end{pmatrix}$
行列の要素を比較すると、
$\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta, \cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

ド・モアブルの定理から

ド・モアブルの定理 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ より、
$\begin{align*} (\cos\theta + i\sin\theta)^3 &= \cos3\theta + i\sin3\theta \\ \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\sin^2\theta\cos\theta - i\sin^3\theta &= \cos3\theta + i\sin3\theta \\ (\cos^3\theta - 3\sin^2\theta\cos\theta) + i(3\sin\theta\cos^2\theta - \sin^3\theta) &= \cos3\theta + i\sin3\theta \\ (4\cos^3\theta - 3\cos\theta) + i(3\sin\theta - 4\sin^3\theta) &= \cos3\theta + i\sin3\theta \end{align*}$
実部と虚部を比較すると、
$\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta, \cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

やっぱりこうやって実際にやってみるとよくわかるものです。

*1:isbn:9784797341379